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Matematica e COVID-19

Pare che la matematica s’intrometta dappertutto. Pure in studi di natura epidemiologica. Non lo fa per dispetto; anzi, i risultati che evidenzia per affrontare l’epidemia di COVID-19 sono illuminanti. Proviamo ad interpretarli senza preoccuparci dei formalismi: sono sufficienti nozioni elementari.

Nel contesto di alcuni modelli matematici che descrivono l’andamento delle malattie infettive, emerge un fattore rilevante per la dinamica dell’infezione, ovvero un indice che quantifica la capacità di contagio di un virus. I matematici lo indicano con R zero e si tratta di una grandezza adimensionata (cioè di un numero puro, senza alcuna unità di misura). Viene definito come il numero medio di individui contagiati da un singolo individuo infetto, in assenza di misure di contenimento. In altri termini, R zero indica quante persone si ammalano in media per ogni paziente infetto con cui vengono in contatto.

Proviamo a formalizzare in termini matematici quanto abbiamo detto a parole. Basta introdurre il rapporto di due parametri. Poniamo

dove beta e gamma sono due parametri che quantificano l’avvenire di un dato fenomeno nell’unità di tempo (per esempio in un giorno).

Il parametro beta indica il numero di contatti (tra un individuo infetto e uno sano) che producono una infezione nell’unità di tempo. Esso tiene conto di due fattori: la trasmissibilità del virus, cioè la probabilità che un individuo infetto possa contagiare un individuo sano tramite un contatto, e il numero medio di contatti tra individui infetti e individui sani nell’unità di tempo.

Il parametro gamma indica il numero di individui infetti rimossi nell’unità di tempo, cioè quante persone guariscono dall’infezione, quante sono poste in isolamento o quante decedono ogni giorno. 

Arriviamo alla conclusione che se R zero è minore di 1, l’epidemia si estingue. Se il numero di contagiati è inferiore all’unità, cioè al singolo individuo, l’infezione è destinata a fermarsi. Cosa possiamo fare per diminuire il valore di R zero?

È facile dedurre che, in assenza di un vaccino per il SARS-CoV-2 e presupposta la limitata capacità di risposta del servizio sanitario nazionale, non è possibile intervenire sul parametro gamma. Possiamo, però, agire sul parametro beta, riducendolo. Come? Limitando i contatti umani e adeguandoci alle direttive di contenimento emanate dal governo.

La strategia di contenimento, messa in atto su scala nazionale, ha proprio questo obiettivo: diminuire i contagi intervenendo sui mezzi che lo provocano, in assenza di soluzioni definitive. Questa misura è necessaria a prevenire la saturazione dei posti letto occupati nei reparti di terapia intensiva, i cui trattamenti sono indispensabili non soltanto ai pazienti infetti da coronavirus che manifestano insufficienza respiratoria grave.

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